〖初二数学下册典型题〗八年级下册数学书经典例题

  • 分享人:恒温暖流
  • 时间:2017-04-21
  • 专栏:初二数学下册典型题

    做八年级数学单元测试好学而不勤问非真好学者。学习啦为大家整理了八年级下册数学书经典例题,欢迎大家阅读!

    初二数学下册典型题 八年级下册数学书经典例题

    八年级下册数学书经典例题试题及参考答案

    经典例题透析

    类型一:勾股定理的直接用法

    1、在Rt△ABC中,∠C=90°

    (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a.

    思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。

    “wwW.NiUBB.COm。

    解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=

    (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=

    (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=

    举一反三

    【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

    【答案】∵∠ACD=90°

    AD=13, CD=12

    ∴AC2 =AD2-CD2

    =132-122

    =25

    ∴AC=5

    又∵∠ABC=90°且BC=3

    ∴由勾股定理可得

    AB2=AC2-BC2

    =52-32

    =16

    ∴AB= 4

    ∴AB的长是4.

    类型二:勾股定理的构造应用

    2、如图,已知:在 中, , , . 求:BC的长.

    思路点拨:由条件 ,想到构造含 角的直角三角形,为此作 于D,则有

    , ,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.

    解析:作 于D,则因 ,

    ∴ ( 的两个锐角互余)

    ∴ (在 中,如果一个锐角等于 ,

    那么它所对的直角边等于斜边的一半).

    根据勾股定理,在 中,

    .

    根据勾股定理,在 中,

    .

    ∴ .

    举一反三【变式1】如图,已知: , , 于P. 求证: .

    解析:连结BM,根据勾股定理,在 中,

    .

    而在 中,则根据勾股定理有

    .

    又∵ (已知),

    ∴ .

    在 中,根据勾股定理有

    ∴ .

    【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。

    分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

    解析:延长AD、BC交于E。

    ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。

    ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,

    ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE= = 。

    ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE= = 。

    ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= AB•BE- CD•DE=

    类型三:勾股定理的实际应用

    (一)用勾股定理求两点之间的距离问题

    3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

    (1)求A、C两点之间的距离。

    (2)确定目的地C在营地A的什么方向。

    解析:(1)过B点作BE//AD

    ∴∠DAB=∠ABE=60°

    ∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

    ∴∠CBA=90°

    即△ABC为直角三角形

    由已知可得:BC=500m,AB=

    由勾股定理可得:

    所以

    (2)在Rt△ABC中,

    ∵BC=500m,AC=1000m

    ∴∠CAB=30°

    ∵∠DAB=60°

    ∴∠DAC=30°

    即点C在点A的北偏东30°的方向

    举一反三

    【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

    【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H.

    解:OC=1米 (大门宽度一半),

    OD=0.8米 (卡车宽度一半)

    在Rt△OCD中,由勾股定理得:

    CD= = =0.6米,

    CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

    因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.

    (二)用勾股定理求最短问题

    4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.

    思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.

    解析:设正方形的边长为1,则图(1)、图(2)中的总线路长分别为

    AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3

    图(3)中,在Rt△ABC中

    同理

    ∴图(3)中的路线长为

    图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH

    由∠FBH= 及勾股定理得:

    EA=ED=FB=FC=

    ∴EF=1-2FH=1-

    ∴此图中总线路的长为4EA+EF=

    3>2.828>2.732

    ∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.

    举一反三

    【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

    解:

    如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm, 根据勾股定理得

    (提问:勾股定理)

    ∴ AC= = = ≈10.77(cm)(勾股定理).

    答:最短路程约为10.77cm.

    类型四:利用勾股定理作长为 的线段

    5、作长为 、 、 的线段。

    思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于 ,直角边为 和1的直角三角形斜边长就是 ,类似地可作 。

    作法:如图所示

    (1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;

    (2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角 。斜边为 ;

    (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形 ,这样斜边 、 、 、 的长度就是

    、 、 、 。

    举一反三 【变式】在数轴上表示 的点。

    解析:可以把 看作是直角三角形的斜边, ,

    为了有利于画图让其他两边的长为整数,

    而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。

    作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,

    以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为 。

    类型五:逆命题与勾股定理逆定理

    6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

    1.原命题:猫有四只脚.(正确)

    2.原命题:对顶角相等(正确)

    3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)

    4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)

    思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。

    解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确)

    2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确)

    3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确)

    4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)

    总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

    7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。

    思路点拨:要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。

    解析:由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得 :

    a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

    ∴ (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

    ∵ (a-3)2≥0, (b-4)2≥0, (c-5)2≥0。

    ∴ a=3,b=4,c=5。

    ∵ 32+42=52,

    ∴ a2+b2=c2。

    由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

    总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

    举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

    【答案】:连结AC

    ∵∠B=90°,AB=3,BC=4

    ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

    ∴AC=5

    ∵AC2+CD2=169,AD2=169

    ∴AC2+CD2=AD2

    ∴∠ACD=90°(勾股定理逆定理)

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